Beweis, dass Primzahllückenkombination 2mod3 mit 2mod3 nicht möglich sind.

p, q, r seien Primzahlen größer 5.
λ und μ seien die Primzahllücken für p + λ = q und q + μ = r.
Angenommen λ und μ seien beide gerade Zahlen der Klasse 2mod3, ergeben also den Rest 2 bei Teilung durch 3.

Die Primzahl p kann nur eine ungerade Zahl 1mod3 oder 2mod3 sein. Wäre sie eine ungerade Zahl 0mod3 dann wäre sie durch 3 teilbar und damit keine Primzahl.

Fall a) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 1mod3. Dann ist p + λ = q oder 1mod3 + 2mod3 = 3mod3 = 0mod3 = q.
Da q aber eine Primzahl ist, kann sie nicht 0mod3 sein und damit ist der Fall a) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 1mod3 sein, wenn λ eine gerade Zahl der Klasse2mod3 ist.

Fall b) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 2mod3. Dann ist p + λ = q oder 2mod3 + 2mod3 = 4mod3 = 1mod3 = q.
Weiter ist q + μ = r oder 1mod3 + 2mod3 = 0mod3 = r.
Da r aber eine Primzahl ist, kann sie nicht 0mod3 sein und damit ist der Fall b) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 2mod3 sein. wenn λ und μ gerade Zahlen der Klasse 2mod3 sind.

Beide Fälle ergeben also einen Widerspruch. Es sind damit keine drei aufeinanderfolgenden Primzahlen mit
den beiden Lücken möglich, die beide einer geraden Zahl der Klasse 2mod3 entsprechen. ■